Estado del problema del milenio: las ecuaciones de Navier-Stokes

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Si tienes problemas para pagar la hipoteca, o te quieres dar un capricho, además de probar suerte en la bonoloto, siempre puedes tomar papel y lápiz e intentar resolver uno de los siete problemas del milenio que propone el Instituto Clay de Matemáticas, cada uno dotado con un premio de un millón de dólares. Malas noticias, hay uno que ya fue resuelto por el ruso Gregori Pelerman, aunque se negó a recoger el millón de dólares. Uno de los siete problemas es la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes. Como se sabe, las ecuaciones de Navier-Stokes son las que representan el movimiento de los fluidos y son de capital importancia no solo en ingeniería sino en muchos otros campos, como puede ser el de la medicina.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, de segundo orden, no lineales y fuertemente acopladas. Las no linealidades de las mismas las hacen sumamente difíciles de resolver analíticamente, habiéndose encontrado algunas soluciones parciales para problemas muy sencillos. La manera de atajar dichas ecuaciones es a través de métodos numéricos, bien por elementos finitos o por diferencias finitas. El problema es que, como toda aproximación, los métodos numéricos no dan soluciones exactas, sino solo cercanas a la realidad, con lo que puede ser que no capturen completamente elementos de esta, pudiendo ocurrir que los resultados de una simulación, cuando el tiempo aumente lo suficiente, no se parezcan en nada a la realidad.

El origen de todas nuestras penas se halla en la turbulencia, y ésta viene ocasionada por la viscosidad del fluido. Aunque el problema aún no se ha resuelto, hay cierta unanimidad en la comunidad científica en que las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes no tienen forzosamente que ser únicas ni tienen tampoco que ser suaves (diferenciables al menos una vez), produciéndose fenómenos de rotura o explosión (torbellinos) aun cuando se parta de un estado inicial completamente laminar y con una energía cinética limitada.

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